نقاط عدد صحیح (سایتها) از خط واقعی توسط موقعیت های یک پیاده روی تصادفی استاندارد با جهش عدد صحیح مثبت مشخص می شوند. ما می گوییم که مجموعه سایت های مشخص شده بسته به اینکه پرش های پیاده روی تصادفی توسط یک مجموعه محدود پشتیبانی شود ، ضعیف ، متوسط یا شدید پراکنده هستند ، به ترتیب دارای میانگین محدود یا نامتناهی هستند. با تمرکز بر روی مورد کمبود زیاد و فرض بر این که دم توزیع جهش ها به طور مرتب در بینهایت متفاوت است ما یک نزدیکترین پیاده روی تصادفی همسایه را روی مجموعه اعداد صحیح با پرش ± ۱ با احتمال ۱ ∕ در هر سایت بدون علامت در نظر می گیریم ، در حالی که رانش تصادفی در هر سایت مشخص شده اعمال می شود. ما قضیه های توزیع محدود جدید را برای یک حرکت تصادفی کاملاً تعریف شده در یک محیط تصادفی کاملاً پراکنده اثبات می کنیم ، در نتیجه نتایج بدست آمده اخیراً در Buraczewski و همکاران را تکمیل می کنیم. (۲۰۱۹) برای مورد کمبود متوسط و در Matzavinos و همکاران. (۲۰۱۶) برای مورد کمبودهای ضعیف. در حالی که پیاده روی تصادفی در یک محیط تصادفی کاملاً پراکنده یا مقیاس پراکندگی انتشار ذاتی برای یک پیاده روی تصادفی متقارن ساده یا طیف گسترده ای از مقیاس های فرومایه را نشان می دهد ، توزیع محدوده مربوطه غیر پایدار است.